Вопрос об устойчивости положения равновесия динамической системы сводится (при весьма общих предположениях) к вопросам о корнях характеристического уравнения линеаризованной системы:

1) Лежат ли все корни в левой полуплоскости комплексной плоскости?
2) Лежат ли все корни внутри круга единичного радиуса?
Рассматриваемое при этом характеристическое уравнение имеет вид

(1)

Ответ на первый вопрос связан с понятием устойчивого многочлена.

Определение: Многочлен с вещественными коэффициентами a_i:

(2)

называется устойчивым, если все его нули λ_j лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости λ, т.е.

Положительность (при a₀ > 0) всех коэффициентов многочлена (2) является необходимым условием устойчивости многочлена.
Теорема Стодолы [1]. Если многочлен (2) с вещественными коэффициентами устойчив, то (при a₀ > 0) все его коэффициенты положительны.

Для многочленов первой и второй степени необходимое условие устойчивости является и достаточным.

Теорема. Многочлен первой и второй степени (с вещественными коэффициентами и при a₀ > 0) тогда и только тогда устойчив, когда все его коэффициенты положительны [1].

Необходимое и достаточное условия отрицательности вещественных частей корней уравнения (1) дали Раус и независимо от него Гурвиц.

Критерий Рауса-Гурвица. Для того чтобы все корни уравнения (1) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы Гурвица

были положительными.

Матрица Гурвица имеет размерность n×n и составляется следующим образом. По главной диагонали располагаются коэффициенты многочлена (2) начиная с a₁ до a_n. Столбцы с нечетными номерами состоят из коэффициентов a_i с нечетными индексами, столбцы с четными номерами состоят из элементов a_i с четными индексами, включая a₀. Все недостающие элементы заполняются нулями.
Главные диагональные миноры матрицы Гурвица вычисляются так:

Таким образом, условия Рауса-Гурвица принимают вид:

Известно, что комплексная функция

отображает внутренность единичного круга плоскости λ на левую полуплоскость плоскости w. Корням характеристического уравнения (1), лежащим внутри единичного круга | λ| < 1 (т.е. по модулю меньшим единицы), будут соответствовать корни преобразованного уравнения

или

(3)

лежащие в левой полуплоскости плоскости w. Вопрос о расположении корней уравнения (3) может быть решен с помощью, например, критерия Рауса-Гурвица.