Рассматривается популяция, которая существует изолированно на некоторой территории и равномерно её заселяет.
N(t) – численность (плотность) популяции в момент времени t. Предполагается, что изменение численности происходит только за счет двух процессов: рождение и гибель.
b(t) – коэффициент рождаемости. Это среднее количество особей, которое порождает одна особь в единицу времени. С его помощью можно определить количество родившихся особей за промежуток времени от t₁ до t₂:

d(t) – коэффициент смертности. С его помощью можно определить количество умерших особей за промежуток времени от t₁ до t₂:

Построим уравнение, которое описывает изменение численности. Рассмотрим промежуток времени [t, t+∆t]:

где N(t+∆t)-N(t) – изменение плотности.
Предполагается, что N(t), b(t), d(t) непрерывны, имеют непрерывные производные. Применяем теорему о среднем, выполняем предельный переход при ∆t→0. Получаем:

Получаем, что

-коэффициент прироста в расчете на единицу особи.
Обобщение может быть выполнено, указывая зависимость коэффициентов от ресурсов, т.е. b(t,N) и d(t,N).

Примеры

1. Экспоненциальная модель (1798 г., Мальтус)

Среда представляет неизменные условия для развития, изолирована. Возможно существование с другими видами, но без взаимодействия.
b, d = const >0.
Обозначим: ε = b – d и назовем мальтусовским коэффициентом прироста.
Модель принимает вид

Решение будет иметь вид:

Если ε > 0, то наблюдается неограниченный рост.
Если ε < 0, наблюдается вырождение, т.е. нулевое состояние является притягивающим.
Если ε = 0, то N(t) = N₀ – численность остается неизменной.

2. Логистическая модель(1825 г., Гомпертц)

где ε - мальтусовский коэффициент прироста, K - емкость среды.
Добавим начальные данные N(0) = N₀ и решим уравнение.
Решение имеет вид:

3. Логистическая модель(1838 г., Ферхюльст, Пирл)

Решение имеет вид: