Дифференциальные уравнения в естествознании

1. Из эксперимента известно, что скорость размножения бактерий при достаточном запасе пищи пропорциональна их количеству. За какое время количество бактерий увеличится в m раз по сравнению с их начальным количеством?

2. Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность. При прохождении через слой толщиной 1 м поглощается 1/4 первоначального светового потока. Какая часть светового потока дойдет до глубины h?

3. Скорость увеличения площади молодого листа виктории-регии, имеющего форму круга, пропорциональна радиусу листа R и количеству солнечного света Q, падающего на него. Количество солнечного света пропорционально площади листа и косинусу угла между направлением лучей и вертикалью к листу.
Найдите зависимость между площадью листа S и временем t, если в 6 ч утра эта площадь составляла 1600 см², а в 18 ч того же дня 2500 см². Принять, что угол α между направлением луча Солнца и вертикалью в 6 ч утра и в 18 ч равен 90°, а в полдень - 0°.

4. Допустим, что при постоянной температуре скорость растворения твердого вещества в жидкости пропорциональна количеству этого вещества, которое еще может раствориться в жидкости до ее насыщения (предполагается, что вещества, входящие в раствор, химически не взаимодействуют и раствор еще далек от насыщения, так как в противном случае линейный закон для скорости раствора неприемлем). Установите зависимость количества растворившегося вещества в растворе от времени и постройте график этой зависимости.

5. В результате химической реакции между веществами A и B образуется вещество C. Установите зависимость количества вещества C от времени, если в момент вступления в реакцию количества веществ A и B были равны соответственно a и b. Скорость реакции пропорциональна произведению реагирующих масс.

6. Вещество γ образуется в результате химической реакции между веществами α и β. В этой реакции один грамм вещества γ возникает при соединении p граммов вещества α и q граммов вещества β (p = 1 - q). Скорость образования вещества γ в любой момент времени t равна произведению масс веществ α и β, не вступивших в реакцию.
Какому дифференциальному уравнению будет удовлетворять количество x(t) вещества γ при t > 0, если в начальный момент времени t = 0 соединить a граммов вещества α и b граммов вещества β?
В предположении, что a/p > b/q, постройте интегральные кривые уравнения. Какое наибольшее количество вещества γ может возникнуть в результате этого эксперимента [3]?

Простейшие модели популяционной динамики

7. Найдите решение уравнения Ферхюльста-Пирла

(1)

удовлетворяющее условию

(2)

Постройте интегральные кривые уравнения (1). Дайте биологическую интерпретацию модели (1)-(2). Зная начальную плотность N₀, причем N₀ < K/2 (K = ε/α - емкость среды), выясните, в какой момент времени будет наблюдаться максимальный прирост численности популяции.

Замечание: Пусть параметр K - емкость среды, тогда уравнение (1) можно записать в виде

(1')

8. Для некоторой группы населения установлено, что вероятность рождения в единицу времени выражается формулой

а вероятность смерти в единицу времени равна

Приняв начальную численность населения N₀ равной 5, постройте график решения детерминистического уравнения. Определите установившееся решение.

9. Найдите решение уравнения Гомпертца

(3)

удовлетворяющее условию (2). Постройте интегральные кривые уравнения (3) и сравните их поведение с поведением интегральных кривых логистического уравнения (1'). Зная начальную плотность N₀, причем N₀ < K/e (e - основание натурального логарифма), выясните, в какой момент времени будет наблюдаться максимальный прирост численности популяции.

10. Для заданных значений параметров ε и K и при начальном условии N(0) = N₀ < K/2 постройте соответствующие интегральные кривые для уравнений Ферхюльста-Пирла (1') и Гомпертца (3). Выясните, в каком случае будет наблюдаться более быстрое насыщение в популяции.

11. Пусть динамика популяции описывается уравнением

(4)

где L - нижняя критическая плотность популяции (при начальном значении N(0) < L популяция обречена на вымирание), K - стационарная плотность, аналогичная емкости среды в логистической модели. Постройте интегральные кривые уравнения (4), характеризующие динамику численности популяции.

12. Выполните анализ модели динамики численности популяции, которая учитывает два фактора - нижнюю критическую границу численности и самоограничение (самолимитирование) при больших плотностях (модель А.Д. Базыкина [2]):

С помощью какого преобразования можно уменьшить размерность области параметров?

Динамика численности популяции в периодической среде

13. Рассмотрим модель Мальтуса, учитывающую нестационарность среды:

(5)

Пусть коэффициент прироста ε(t) является периодической функцией с периодом, равным T (T > 0), т.е.

Обозначим среднее значение коэффициента прироста ε(t) на промежутке времени длиной T через

(6)

1) Покажите, что функция

(7)

является периодической с периодом T.

2) Выясните, облажает ли решение N = N(t) уравнения (5) свойством периодичности.

3) Пусть среднее значение коэффициента прироста на промежутке времени длиной T равно 0. Будет ли верным равенство среднего значения численности популяции на промежутке времени длиной T значению начальной численности популяции?

14. Рассмотрим логистическое уравнение

(8)

в случае, когда ε(t) и α(t) - непрерывные положительные функции и

1) Постройте решение уравнения (8), удовлетворяющее начальному условию N(0) = N₀.

2) Запишите полученное решение с помощью функции φ(t), определяемой выражением (7).

3) Покажите, что с течением времени кривая численности популяции стремится к некоторой периодической кривой с периодом T, т.е.

Указание. Преобразование выражений можно выполнять, введя вспомогательную функцию

15 (Задача о "ловле карасей" [1].) Пусть динамика карасей в пруду в отсутствие антропогенного вмешательства описывается с помощью логистического уравнения

где x = x(t) - численность популяции в пруду в момент времени t (в условных единицах). Предположим, что идет вылов карасей (например, рыболовецкий кооператив снабжает местный рыбный магазин живой рыбой).

1) Допустим, что скорость отлова постоянна и равна c. Запишите уравнение отлова. Выполните анализ динамики популяции в зависимости от скорости отлова.

2) Фиксируем вместо абсолютной скорости отлова относительную, т.е. фиксируем отлавливаемую за единицу времени долю p наличной популяции. Запишите уравнение отлова и выясните, существуют ли значения параметра p, при которых будет иметь место отлов, обеспечивающий устойчивое получение улова со скоростью c = ¹/₄.