Исследуем модель. Выясним характер поведения функций N1, N2 и установим траектории развития сообщества. Исключим параметры, поделив первое уравнение системы на второе.
Разделяем переменные и интегрируем правую и левую часть. Ищем ненулевые решения.
Запишем решение в виде первого интеграла:
c находится, исходя из заданных ненулевых условий.
(3) - уравнение фазовых траекторий за исключением особых точек (когда правые части приравниваются к нулю). Уравнение (3) определяет замкнутые линии с центром в точке с координатами (ε2/γ2; ε1/γ1).
Положения равновесия
Найдем все положения равновесия системы.
Приравниваем правую часть к нулю, ищем решения системы:
Система имеет два различных решения:
1. P0(0, 0), N1 = N2 = 0. Если N1 = 0, то N2 = 0 и наоборот.
2. Ненулевое положение равновесия - P1:
Получаем, что в классической модели две точки покоя.
Характер устойчивости
Для анализа на устойчивость используем линеаризацию. Пусть P* = (N1*, N2*) - произвольная точка покоя. Разложим функции правой части в ряд Тейлора, сохраняя только линейные слагаемые. Учитывая, что f(N1*, N2*) = 0, получаем:
Обозначим
Тогда система примет вид:
Нулевое положение равновесия линеаризованной системы (4) будет соответствовать исходному положению равновесия P* системы (1). Устойчивость системы (4) зависит от вещественной части собственных значений матрицы системы.
Исследуем каждое положение равновесия.
Первая точка покоя. P* = P0(0, 0). Система примет вид:
λ1 = ε1, λ2 = -ε2. Оба собственных значения - вещественные, разного знака, значит, положение равновесия P0 - седло.
Найдем уравнения сепаратрис седла в виде y = kx:
Построим фазовый портрет системы.
Сепаратрисами седла являются координатные оси. Для оси x отклонения нарастают, для y - затухают с течением времени. Таким образом, можно определить направление движения по траекториям.
Вторая точка покоя. P* = P1.
Матрица системы:
Характеристическое уравнение:
Собственные числа мнимые с нулевой вещественной частью. P1 устойчиво, но не асимптотически. Точка покоя - "центр".
Построим фазовый портрет системы в плоскости (x, y).
Построим фазовый портрет все системы в плоскости (N1, N2).
Полуоси препятствуют дальнейшему увеличению траектории.
Ось N1 как фазовая траектория имеет смысл развития жертвы в отсутствие хищника - неограниченный рост. Фазовая траектории, лежащая на оси N2, соответствует гибели хищника в отсутствие жертвы, движение - к точке покоя.
Законы Вольтерра. Свойства решений системы (1)
Закон периодичности цикла: численности жертвы и хищника изменяются по периодическому закону при условии их ненулевой и не совпадающей с равновесной начальной численности. Период колебаний зависит от параметров εi, γi и начальной численности видов.
В малой окрестности точки покоя P1 фазовые траектории имеют приближенную форму эллипса. Период колебаний при этом определяется величиной
Закон сохранения средних: средние значения численности жертвы и хищника на промежутке времени, равном периоду колебаний, не изменяются при ненулевой начальной численности и при сохранении значений параметров εi, γi.
Доказательство.
Обозначим T - период колебаний. По определению средние значения численности жертвы и хищника:
Рассмотрим первое уравнение системы (1), поделим его на N1:
Интеграл в правой части уравнения равен нулю, т.к. N1(0) = N1(T).
Среднее значение:
совпадает с равновесной численностью.
Аналогично для N1.
Закон смещения средних: предположим, что из популяции хищников и жертв извлекается некоторое количество особей. Предположим, что изъятие пропорциональное численности видов. Тем самым численность жертв уменьшается на количество изымаемых.
- система с учетом изъятия.
Если ε1 > α1, то модель обладает теми же свойствами, что и исходная.
- так меняется среднее значение.
Если ε1 ≤ α1, то численность жертвы стремится к нулю. Тогда и численность хищника стремится к нулю. Происходит вырождение в системе.
|
